L'histoire

Le théorème de Pythagore : la voie de la vérité

Le théorème de Pythagore : la voie de la vérité


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Pythagore (569-475 av. J.-C.) est reconnu comme le premier mathématicien au monde. Il est né sur l'île de Samos et on pensait qu'il étudiait avec Thalès et Anaximandre (reconnus comme les premiers philosophes occidentaux). Pythagore croyait que les nombres n'étaient pas seulement le chemin vers la vérité, mais la vérité elle-même. Grâce aux mathématiques, on pouvait atteindre l'harmonie et vivre une vie plus facile. Il aurait proposé un certain nombre de théorèmes mathématiques à cette fin mais, de tous ceux-ci, seul le célèbre théorème de Pythagore subsiste (Allen, 1966).

L'historien Robinson écrit : " L'affirmation selon laquelle " Pythagore a travaillé très dur du côté arithmétique de la géométrie " est encore confirmée par la tradition selon laquelle il a étudié le problème arithmétique consistant à trouver des triangles dont le carré d'un côté est égal à la somme des carrés sur les deux autres » et l'a fait, très tôt, en utilisant des pierres en rangées pour comprendre les vérités qu'il tentait de véhiculer (1968). Le théorème de Pythagore dit que a² + b² = c². Ceci est utilisé lorsque l'on nous donne un triangle dans lequel nous ne connaissons que la longueur de deux des trois côtés. C est le côté le plus long de l'angle appelé hypoténuse. Si a est l'angle adjacent, alors b est le côté opposé. Si b est l'angle adjacent, alors a est le côté opposé. Si a = 3 et b = 4, nous pourrions alors résoudre pour c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. C'est l'une des principales utilisations du théorème de Pythagore.

Il existe de nombreuses preuves du théorème de Pythagore, la plus connue étant la preuve d'Euclide du livre I de son Éléments.

Proposition : Dans les triangles rectangles, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.

Euclide a commencé par une configuration pythagoricienne puis a tracé une ligne à travers un diagramme illustrant les égalités des zones. Il a conclu que AB/AC = AC/HA, donc (AC)² = (HA)(AB). Puisque AB=AJ, l'aire du rectangle HAJG correspond à l'aire du carré de côté AC. De même, AB/BC = BC/BH s'écrit aussi (BC)² = (BH)(AB) = (BH)(BD) et puisque AB=BD. On voit donc que la somme des aires des rectangles est l'aire du carré sur l'hypoténuse. Selon les mots de Stephanie Morris, « Ceci complète la preuve » (Morris, 2011).

Une autre preuve, plus facile à comprendre, part d'un rectangle divisé en trois triangles, tous à angles droits.

Le triangle BEA et le triangle BCE chevauchent le triangle ACD. En comparant le triangle BCE et le triangle ACD, et en regardant leurs côtés correspondants, nous voyons que AC/BC = AD/EC. Puisque AD = BC, AC/AD = AD/EC. Par multiplication, cette équation est rendue (AD)² = (AC)(AE). A partir des triangles ABC et ABE, notant que AB = CD, en comparant les angles droits de ces deux figures, nous rendons l'équation AC/AB = CD/AE. À partir de la forme rectangulaire d'origine, nous avions AB = CD également donné par AC/CD = CD/AE, qui s'écrit comme un problème de multiplication sous la forme (CD)² = (AC)(AE) et en ajoutant les équations que nous avons jusqu'à présent, on obtient deux nouvelles formules qui sont (CD)² + (AD)² = (AC)(AE) + (AC) (EC) et (CD)² + (AD)² = (AC)(AE + EC). Puisque AC = AE + EC, on obtient (CD)² + (AD)² = (AC)². Comme pour la preuve précédente, cela montre la validité du théorème de Pythagore (Morris, 2011).

Dans le théorème de Pythagore, chaque côté/angle est une information critique qui nous aide à déterminer d'autres angles/côtés. Pythagore croyait à une vérité objective qui était le nombre. Le théorème de Pythagore permet de connaître des vérités à travers les équations mathématiques ci-dessus, ce qui signifie qu'il existe une vérité objective, en dehors de toute opinion personnelle, qui peut effectivement être prouvée ; et c'est enfin ce que Pythagore a voulu prouver à travers son œuvre.

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Le théorème de Pythagore : la voie de la vérité - Histoire

Cet essai a été inspiré par un cours que je prends ce trimestre. La classe est l'histoire des mathématiques. Dans ce cours, nous apprenons à inclure l'histoire des mathématiques dans l'enseignement d'une mathématique. Une façon d'inclure l'histoire des mathématiques dans votre classe est d'incorporer des problèmes de mathématiques anciennes dans votre enseignement. Une autre façon est d'introduire un nouveau sujet avec un historique du sujet. Espérons que cet essai vous donnera quelques idées sur la façon d'inclure l'histoire du théorème de Pythagore dans son enseignement et son apprentissage.

Nous avons discuté de différents sujets qui ont été développés dans les civilisations anciennes. Le théorème de Pythagore est l'un de ces sujets. Ce théorème est l'un des premiers théorèmes connus des civilisations anciennes. Il a été nommé d'après Pythagore, un mathématicien et philosophe grec. Le théorème porte son nom bien que nous ayons des preuves que les Babyloniens connaissaient cette relation quelque 1000 ans plus tôt. Plimpton 322 , une tablette mathématique babylonienne datée de 1900 av. J.-C., contient une table de triplets pythagoriciens. Le Chou-pei, un ancien texte chinois, nous donne également la preuve que les Chinois connaissaient le théorème de Pythagore bien des années avant que Pythagore ou l'un de ses collègues de la société pythagoricienne ne le découvre et le prouve. C'est la raison pour laquelle le théorème est nommé d'après Pythagore.

Pythagore a vécu au VIe ou au Ve siècle av. Il fonda l'école pythagoricienne de Crotone. Cette école était une académie pour l'étude des mathématiques, de la philosophie et des sciences naturelles. L'école pythagoricienne était plus qu'une école, c'était " une fraternité étroitement unie avec des rites et des observances secrets " (Eves 75). À cause de cela, l'école a été détruite par les forces démocratiques de l'Italie. Bien que la confrérie ait été dispersée, elle a continué à exister pendant encore deux siècles. Pythagore et ses collègues sont crédités de nombreuses contributions aux mathématiques.

Ce qui suit est une enquête sur la façon dont le théorème de Pythagore a été prouvé au fil des ans.

"Le carré sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés sur les deux jambes" (Eves 80-81).


Ce théorème parle de l'aire des carrés qui sont construits de chaque côté du triangle rectangle.

En conséquence, nous obtenons les aires suivantes pour les carrés, où les carrés vert et bleu sont sur les jambes du triangle rectangle et le carré rouge est sur l'hypoténuse.

l'aire du carré vert est
l'aire du carré bleu est
l'aire du carré rouge est

De notre théorème, nous avons la relation suivante :

aire du carré vert + aire du carré bleu = aire du carré rouge ou

Comme je l'ai dit plus tôt, ce théorème a été nommé d'après Pythagore parce qu'il a été le premier à le prouver. Il a probablement utilisé un type de preuve de dissection similaire à ce qui suit pour prouver ce théorème.

" Soit a, b, c les jambes et l'hypoténuse du triangle rectangle donné, et considérons les deux carrés de la figure ci-jointe, chacun ayant a+b comme côté. Le premier carré est disséqué en six morceaux, à savoir les deux carrés sur les jambes et quatre triangles rectangles congruents au triangle donné. Le deuxième carré est disséqué en cinq morceaux, à savoir le carré sur l'hypoténuse et quatre triangles rectangles congruents au triangle donné. En soustrayant les égaux des égaux, il s'ensuit maintenant que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes » (Eves 81).

Considérez la figure suivante.

L'aire du premier carré est donnée par (a+b)^2 ou 4(1/2ab)+ a^2 + b^2.
L'aire du deuxième carré est donnée par (a+b)^2 ou 4(1/2ab) + c^2.
Puisque les carrés ont des aires égales, nous pouvons les mettre égaux à un autre et soustraire des égaux. Le cas (a+b)^2=(a+b)^2 n'est pas intéressant. Faisons l'autre cas.
4(1/2ab) + a^2 + b^2 = 4(1/2ab)+ c^2
En soustrayant des égaux des deux côtés, nous avons

conclusion de la preuve de Pythagore.
Au fil des ans, de nombreux mathématiciens et non mathématiciens ont donné diverses preuves du théorème de Pythagore. Voici les preuves de Bhaskara et de l'un de nos anciens présidents, le président James Garfield. J'ai choisi ces preuves parce que n'importe laquelle d'entre elles serait appropriée à utiliser dans n'importe quelle salle de classe.

La première preuve de Bhaskara

La preuve de Bhaskara est aussi une preuve de dissection. Elle est similaire à la preuve fournie par Pythagore. Bhaskara est né en Inde. Il était l'un des mathématiciens hindous les plus importants du deuxième siècle de notre ère. Il a utilisé les diagrammes suivants pour prouver le théorème de Pythagore.

Dans les diagrammes ci-dessus, les triangles bleus sont tous congrus et les carrés jaunes sont congrus. Nous devons d'abord trouver l'aire du grand carré de deux manières différentes. Trouvons d'abord l'aire en utilisant la formule d'aire d'un carré.
Ainsi, A=c^2.
Maintenant, trouvons l'aire en trouvant l'aire de chacun des composants, puis additionnons les aires.
Aire des triangles bleus = 4(1/2)ab
Aire du carré jaune = (b-a)^2
Aire du grand carré = 4(1/2)ab + (b-a)^2
= 2ab + b^2 - 2ab + a^2
= b^2 + a^2

Depuis, le carré a la même superficie, peu importe comment vous le trouvez
A = c^2 = a^2 + b^2,
conclure la preuve.


Deuxième preuve de Bhaskara du théorème de Pythagore

Dans cette preuve, Bhaskara a commencé par un triangle rectangle, puis il a tracé une altitude sur l'hypoténuse. À partir de là, il a utilisé les propriétés de similitude pour prouver le théorème.

Démontrez maintenant que les triangles ABC et CBE sont similaires.
Il résulte du postulat AA que le triangle ABC est semblable au triangle CBE, puisque l'angle B est congru à l'angle B et l'angle C est congru à l'angle E. Ainsi, puisque les rapports internes sont égaux s/a=a/c.
En multipliant les deux côtés par ac, nous obtenons
sc=a^2.

Montrez maintenant que les triangles ABC et ACE sont similaires.
Comme précédemment, il résulte du postulat AA que ces deux triangles sont similaires. L'angle A est congru à l'angle A et l'angle C est congru à l'angle E. Ainsi, r/b=b/c. En multipliant les deux côtés par bc nous obtenons
rc=b^2.

Maintenant, lorsque nous ajoutons les deux résultats, nous obtenons
sc + rc = a^2 + b^2.
c(s+r) = a^2 + b^2
c^2 = a^2 + b^2,
conclure la preuve du théorème de Pythagore.

La preuve de Garfield

Le vingtième président des États-Unis a donné la preuve suivante au théorème de Pythagore. Il a découvert cette preuve cinq ans avant de devenir président. Il tomba sur cette preuve en 1876 lors d'une discussion sur les mathématiques avec certains membres du Congrès. Il a ensuite été publié dans le New England Journal of Education .. La preuve dépend du calcul de l'aire d'un trapèze droit de deux manières différentes. La première consiste à utiliser la formule d'aire d'un trapèze et la seconde consiste à additionner les aires des trois triangles rectangles qui peuvent être construits dans le trapèze. Il a utilisé le trapèze suivant pour développer sa preuve.

Tout d'abord, nous devons trouver l'aire du trapèze en utilisant la formule de l'aire du trapèze.
A=(1/2)h(b1+b2) aire d'un trapèze

Dans le diagramme ci-dessus, h=a+b, b1=a et b2=b.

Maintenant, trouvons l'aire du trapèze en additionnant l'aire des trois triangles rectangles.
L'aire du triangle jaune est
A=1/2(ba).

L'aire du triangle rouge est
A=1/2(c^2).

L'aire du triangle bleu est
A= 1/2(ab).

La somme de l'aire des triangles est
1/2(ba) + 1/2(c^2) + 1/2(ab) = 1/2(ba + c^2 + ab) = 1/2(2ab + c^2).

Puisque cette aire est égale à l'aire du trapèze, on a la relation suivante :
(1/2)(a^2 + 2ab + b^2) = (1/2)(2ab + c^2).


Théorème de Pythagore

Pourquoi les mathématiques sont-elles différentes (dans le bon sens) de toutes les autres matières que vous avez apprises à l'école ?

Deux mots : théorème de Pythagore.

Laissez-moi expliquer. Le théorème de Pythagore en lui-même n'est pas vraiment la raison pour laquelle les mathématiques sont uniques, c'est simplement un exemple que je souhaite utiliser pour illustrer mon propos. J'ai choisi ce théorème comme exemple parce que d'après mon expérience, c'est l'une des rares choses dont tout le monde se souvient du cours de mathématiques, peu importe à quel point ils ont aimé les mathématiques ou à quel point ils ont réussi dans le cours. Mais juste au cas où le P.T. vous a échappé, voici un récapitulatif :

Pour tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit (90 degrés)), est égal à la somme du carré des deux autres côtés.

Ce résultat est attribué au mathématicien et philosophe grec Pythagore (d'où le nom créateur du théorème). Pythagore a vécu entre le Ve et le VIe siècle av. et bien qu'il soit finalement celui qui a prouvé le théorème, il existe des preuves que le résultat du théorème était connu des Babyloniens 1000 ans avant la naissance de Pythagore. Remarquez cette vieille tablette :

Wow, c'est vieux. Ici, vous pouvez en savoir plus sur les Babyloniens et le théorème de Pythagore.

Mon point est que dans quelle autre classe effectuez-vous les mêmes opérations que les gens effectuaient il y a 3000 ans ? Certes, en cours d'histoire, vous apprenez des civilisations antérieures, mais on ne vous apprend pas à faire l'histoire de la même manière que ces civilisations. La précision qu'exige l'histoire moderne était en grande partie inconnue de ces peuples anciens. Peut-être que dans la littérature, vous lisez Homer’s Iliade et Odyssée, mais encore une fois, on ne vous apprend pas à écrire dans le même style de poésie épique.

Alors pourquoi se fait-il qu'en cours de mathématiques, alors que des progrès ont été réalisés et que la technologie a certainement parcouru un long chemin, nous trouvons toujours avantageux d'effectuer des calculs comme ils l'étaient il y a des milliers d'années ?

Ma réponse : il n'y a rien à perfectionner, rien à améliorer, quand vous rencontrez la vérité. Verité vraie.

Pour nous tous qui avons la croyance chrétienne que Dieu est la vérité, tout ce qui est vrai est un fait à propos de Dieu, et les mathématiques sont une branche de la théologie.

« Le but principal de toutes les recherches sur le monde extérieur devrait être de découvrir l'ordre et l'harmonie rationnels qui lui ont été imposés par Dieu et qu'il nous a révélés dans le langage des mathématiques.


Le théorème de Pythagore en mathématiques babyloniennes

Dans cet article, nous examinons quatre tablettes babyloniennes qui ont toutes un lien avec le théorème de Pythagore. Certes, les Babyloniens connaissaient le théorème de Pythagore. Voici une traduction d'une tablette babylonienne conservée au British Museum :

Toutes les tablettes que nous souhaitons examiner en détail proviennent à peu près de la même période, à savoir celle de l'Ancien Empire babylonien qui a prospéré en Mésopotamie entre 1900 avant JC et 1600 avant JC.


Voici une carte de la région où la civilisation babylonienne a prospéré.


L'article sur les mathématiques babyloniennes donne un aperçu de la naissance de la civilisation et du contexte mathématique dont ils ont hérité.

Les quatre tablettes qui nous intéressent ici seront appelées la tablette Yale YBC 7289, Plimpton 322 (ci-dessous), la tablette Susa, et la tablette Tell Dhibayi. Parlons un peu de ces tablettes avant de décrire les mathématiques qu'elles contiennent.

La tablette Yale YBC 7289 que nous décrivons fait partie d'une grande collection de tablettes conservées dans la collection Yale Babylonian de l'Université de Yale. Il se compose d'une tablette sur laquelle apparaît un schéma. Le diagramme est un carré de côté 30 avec les diagonales tracées. La tablette et sa signification ont été discutées pour la première fois dans [ 5 ] et récemment dans [ 18 ] .


Plimpton 322 est la tablette numérotée 322 dans la collection de G A Plimpton conservée à l'Université de Columbia.


Vous pouvez voir sur la photo que le coin supérieur gauche de la tablette est endommagé et qu'il y a une grosse puce hors de la tablette au milieu du côté droit. Sa date n'est pas connue avec précision mais elle est située entre 1800 avant JC et 1650 avant JC. On pense qu'il ne s'agit que d'une partie d'une tablette plus grande, dont le reste a été détruit, et au début, on pensait, comme beaucoup de ces tablettes, qu'il s'agissait d'un enregistrement de transactions commerciales. Cependant dans [ 5 ] Neugebauer et Sachs ont donné une nouvelle interprétation et depuis lors, elle a fait l'objet d'un énorme intérêt.

La tablette de Suse a été découverte dans la ville actuelle de Shush dans la région du Khouzistan en Iran. La ville est à environ 350 km de l'ancienne ville de Babylone. W K Loftus l'a identifié comme un site archéologique important dès 1850, mais les fouilles n'ont été menées que bien plus tard. La tablette particulière qui nous intéresse ici étudie comment calculer le rayon d'un cercle passant par les sommets d'un triangle isocèle.

Enfin , la tablette Tell Dhibayi était l' une des 500 tablettes trouvées près de Bagdad par les archéologues en 1962 . La plupart se rapportent à l' administration d' une cité antique qui prospéra à l' époque d' Ibalpiel II d' Eshunna et datent d' environ 1750 . La tablette particulière qui nous intéresse n'est pas celle relative à l'administration mais celle qui présente un problème géométrique qui demande les dimensions d'un rectangle dont l'aire et la diagonale sont connues.

Avant d'examiner les mathématiques contenues dans ces quatre tablettes, nous devrions parler un peu de leur importance pour comprendre la portée des mathématiques babyloniennes. Premièrement, nous devons faire attention à ne pas lire dans les premières mathématiques des idées que nous pouvons voir clairement aujourd'hui mais qui n'ont jamais été dans l'esprit de l'auteur. Inversement, nous devons veiller à ne pas sous-estimer l'importance des mathématiques simplement parce qu'elles ont été produites par des mathématiciens qui pensaient très différemment des mathématiciens d'aujourd'hui. Comme dernier commentaire sur ce que ces quatre tablettes nous disent des mathématiques babyloniennes, nous devons prendre soin de réaliser que presque toutes les réalisations mathématiques des Babyloniens, même si elles ont toutes été enregistrées sur des tablettes d'argile, auront été perdues et même si ces quatre peuvent être considérés comme particulièrement importants parmi ceux qui survivent, ils peuvent ne pas représenter le meilleur des mathématiques babyloniennes.

Il n'y a aucun problème à comprendre de quoi parle la tablette Yale YBC 7289.


Voici une Schéma de la tablette Yale


Il y a dessus un diagramme d'un carré avec 30 sur un côté, les diagonales sont tracées et près du centre est écrit 1 , 24 , 51 , 10 et 42 , 25 , 35 . Bien sûr ces nombres sont écrits en chiffres babyloniens en base 60 . Voir notre article sur les chiffres babyloniens. Maintenant, les nombres babyloniens sont toujours ambigus et aucune indication ne se produit quant à l'endroit où la partie entière se termine et où commence la partie fractionnaire. En supposant que le premier nombre est 1 24 , 51 , 10 , puis le convertir en nombre décimal donne 1 . 414212963 tandis que 2 = 1 . 414213562 . Le calcul de 30 × [ 1 24 , 51 , 10 ] donne 42 25 , 35 qui est le deuxième nombre. La diagonale d'un carré de côté 30 se trouve en multipliant 30 par l'approximation de 2 .

Cela montre une bonne compréhension du théorème de Pythagore.Cependant, encore plus significative est la question de savoir comment les Babyloniens ont trouvé cette remarquable approximation de √ 2 . Plusieurs auteurs, par exemple voir [ 2 ] et [ 4 ] , conjecturent que les Babyloniens utilisaient une méthode équivalente à la méthode de Heron. La suggestion est qu'ils ont commencé par une supposition, disons x x x . Ils ont alors trouvé e = x 2 − 2 e = x^ <2>- 2 e = x 2 − 2 qui est l'erreur. Puis

C'est certainement possible et la compréhension babylonienne des quadratiques ajoute du poids à l'affirmation. Cependant, il n'y a aucune preuve que l'algorithme soit utilisé dans d'autres cas et son utilisation ici ne doit rester qu'une possibilité assez lointaine. Puis-je [ EFR ] suggérer une alternative. Les Babyloniens ont produit des tables de carrés, en fait toute leur compréhension de la multiplication était construite sur des carrés ronds, donc peut-être qu'une approche plus évidente pour eux aurait été de faire deux suppositions, une haute et une basse disons a a a et b b b . Prendre leur moyenne a + b 2 Largefrac 2 2 a + b ​ et carré. Si le carré est supérieur à 2 alors remplacez b b b par cette meilleure borne, tandis que si le carré est inférieur à 2 alors remplacez a a a par a + b 2 Largefrac 2 2 a + b . Continuez avec l'algorithme.

Maintenant, cela prend certainement beaucoup plus d'étapes pour atteindre l'approximation sexagésimale 1 24 , 51 , 10 . En fait en commençant par a = 1 a = 1 a = 1 et b = 2 b = 2 b = 2 cela prend 19 étapes comme le montre le tableau ci-dessous : Cependant, les Babyloniens n'avaient pas peur de l'informatique et ils ont peut-être été prêts à continuer ce calcul simple jusqu'à ce que la réponse soit correcte à la troisième place sexagésimale.


Ensuite, nous regardons à nouveau Plimpton 322


La tablette a quatre colonnes avec 15 lignes. La dernière colonne est la plus simple à comprendre car elle donne le numéro de la ligne et contient donc 1 , 2 , 3 , . , 15 . Le fait remarquable que Neugebauer et Sachs ont souligné dans [ 5 ] est que dans chaque rangée le carré du nombre c c c dans la colonne 3 moins le carré du nombre b b b dans la colonne 2 est un carré parfait, disons h h h .

Le tableau est donc une liste de triplets entiers de Pythagore. Ce n'est pas tout à fait vrai puisque Neugebauer et Sachs pensent que le scribe a fait quatre erreurs de transcription, deux dans chaque colonne et cette interprétation est nécessaire pour que la règle fonctionne. Les erreurs sont facilement considérées comme de véritables erreurs, cependant, par exemple 8 , 1 a été copié par le scribe comme 9 , 1 .

Plusieurs historiens ( voir par exemple [ 2 ] ) ont suggéré que la colonne 1 est liée à la fonction sécante. Cependant, comme le commente Joseph [ 4 ] :-

Zeeman a fait une observation fascinante. Il a fait remarquer que si les Babyloniens utilisaient les formules h = 2 mn , b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 h = 2mn, b = m^<2>-n^<2>, c = m^<2>+n^ <2>h = 2 mn , b = m 2 − n 2 , c = m 2 + n 2 pour générer des triplets de Pythagore alors il y a exactement 16 triplets satisfaisant n ≤ 60 , 30 ° ≤ t 45 ° n ≤ 60, 30° ≤ t 45° n ≤ 6 0 , 3 0 ° ≤ t ≤ 4 5 ° , et tan ⁡ 2 t = h 2 / b 2 an^<2>t = h ^<2>/b^ <2>tan 2 t = h 2 / b 2 ayant un développement sexagésimal fini ( ce qui équivaut à m , n , bm, n, bm , n , b ayant 2 , 3 , et 5 comme leurs seuls diviseurs premiers). Maintenant, 15 des 16 triplets de Pythagore satisfaisant les conditions de Zeeman apparaissent dans Plimpton 322 . Est-ce le plus ancien théorème de classification mathématique connu ? Bien que je ne puisse pas croire que Zeeman ait tout à fait raison, je pense que son explication doit être sur la bonne voie.

Pour donner une discussion juste de Plimpton 322, nous devons ajouter que tous les historiens ne sont pas d'accord pour dire que cette tablette concerne les triplets de Pythagore. Par exemple Exarchakos, dans [ 17 ] , prétend que la tablette est liée à la solution des équations quadratiques et n'a rien à voir avec les triplets de Pythagore :

La tablette de Susa pose un problème de triangle isocèle de côtés 50 , 50 et 60 . Le problème est de trouver le rayon du cercle passant par les trois sommets.


Autre théorème de Pythagore : une brève histoire du végétarisme

Récemment, dans son émission hebdomadaire Heritage Radio Network, « A Taste of the Past », Linda Pellacio a interviewé Rynn Berry, auteur et conseiller historique de la North American Vegetarian Society.

Berry est végétarienne depuis qu'elle a appris, à l'adolescence, que les animaux éprouvent de l'anxiété avant l'abattage. Son végétarisme a depuis évolué vers un mode de vie végétalien, ce qui signifie qu'il exclut tous les produits d'origine animale, y compris le miel, non seulement de son alimentation mais aussi de ses vêtements.

Avec Pellacio, Berry a discuté de la trajectoire du végétarisme, qui fait partie de l'histoire documentée depuis le VIe siècle av. Selon Berry, la première société végétarienne a été fondée par l'ancien mathématicien grec Pythagore (un acteur clé de la géométrie de la neuvième année). Pythagore n'a pas seulement démystifié les triangles, il a également propagé l'évangile du Bouddha, un contemporain de Pythagore qui l'a personnellement inspiré à pratiquer le végétarisme non-violent. Pour Pythagore, s'abstenir de viande était enraciné dans ses valeurs spirituelles. La nutrition ne deviendra un facteur dans l'alimentation que bien plus tard dans l'histoire. En fait, un régime dépourvu de tout produit animal était en fait appelé régime « pythagoricien » jusqu'en 1944, lorsque Donald Watson, fondateur de la Vegan Society, a inventé le mot végétalien. Le végétarisme a été documenté pour la première fois en 1848, très probablement par un chercheur d'Oxford.

Berry a écrit plusieurs livres sur le végétarisme, dont Végétariens célèbres. Parmi les abstentionnistes notables, citons Benjamin Franklin, que Berry a décrit comme "le seul père fondateur à avoir une aventure avec le végétarisme", ainsi que George Bernard Shaw, à qui une équipe de médecins a dit qu'il devait manger de la viande ou mourir de faim. Non seulement il n'est pas mort de faim, mais il a vécu jusqu'à l'âge de 94 ans.

D'autres végétariens du 19ème siècle ont fait entrer l'héritage de leurs noms dans le lexique de l'alimentation industrielle d'aujourd'hui. John Harvey Kellogg, un adventiste du septième jour et l'inventeur des flocons de maïs, a créé la céréale comme option alternative pour le petit-déjeuner sans viande. Sylvester Graham, un pasteur presbytérien qui a prêché pour la tempérance, les grains entiers et les régimes végétariens, a créé un cracker qu'il croyait être un produit nutritionnellement supérieur. Les amateurs de S'mores peuvent être assurés que la version moderne de la friandise de feu de camp bien-aimée, le biscuit graham, ressemble peu au prototype original.

La trajectoire du végétarisme est particulièrement intéressante, surtout en Amérique, où l'histoire a enregistré sa renaissance à plusieurs reprises. Les premiers végétariens que j'ai nommés dans cet article ont tous été inspirés par leurs religions respectives pour s'accrocher à un régime sans viande. Leurs objectifs ont peut-être varié, mais l'impulsion commune était un sens spirituel de la clarté qui était censé être atteint en mangeant un régime sans chair. Ce n'est qu'au 20e siècle que l'Amérique a adopté le végétarisme de manière laïque. La génération des baby-boomers, stimulée par la violence des années 1960 et décriée par les menaces de catastrophes écologiques imminentes, a largement adopté une alimentation inspirée par l'écologie et un désir de se rapprocher de la Terre. Au moment où le livre emblématique de Frances Moore Lappé, Régime pour une petite planète (1971), a été publié, le végétarisme avait trouvé sa place dans la conscience collective américaine dominante.

Aujourd'hui, nous assistons à un redux végétarien. D'une part, la nutrition est vénérée dans la société et un régime sans viande est devenu un point d'entrée acceptable vers un mode de vie sain. Même les versions extrêmes du végétarisme, telles que le véganisme et les régimes alimentaires crus, ont commencé à se débarrasser de leur stigmatisation. William Jefferson Clinton, qui n'était pas un père fondateur mais un ancien président bien-aimé, a été franc au sujet de sa transition drastique d'un régime alimentaire alimenté par la restauration rapide à un régime végétalien strict. Rynn Berry qualifierait Clinton de « végétarien coronarien », quelqu'un qui adopte un régime à base de plantes sur recommandation de son médecin après une crise cardiaque ou une intervention chirurgicale majeure. Peut-être inspiré par leur ancien président, ou peut-être simplement sur la vague de la tendance actuelle, le peuple américain a écouté une litanie de témoignages de célébrités qui ne jurent que par leur nouveau régime sans viande. L'éthique est rarement l'impulsion, et l'impulsion axée sur la nutrition a créé un échantillon représentatif de joueurs au coin de "Je veux ma viande" et "Je veux aussi me sentir bien". Cette nouvelle activité consistant à vouloir rester en bonne santé sans sacrifier les envies gustatives a inspiré des mouvements tels que les « lundi sans viande », qui encouragent un engagement à manger plus bas dans la chaîne alimentaire sans avoir à faire de la dinde froide. Ou tofurkey froid, selon le cas.

La dévotion éthique à un régime sans cruauté, nous pouvons le voir, a été tempérée et popularisée par un changement d'orientation. Oui, nous nous soucions toujours des animaux, mais maintenant que nous savons que nous pouvons consommer des créatures qui ont vécu une vie saine et heureuse, nous n'avons plus à nous soucier du fait que leur sang reste sur nos mains. Il est important de noter que seulement cinq pour cent des Américains s'identifient comme végétariens et pour la majorité de la population qui mange de la viande, il existe d'autres moyens d'avoir un impact puissant et positif sur l'environnement et sa propre santé. Faire pression pour la diversité des races dans notre approvisionnement en viande et acheter uniquement du bétail élevé de manière durable sont des choix efficaces et importants que les mangeurs de viande devraient considérer. Le végétarisme en lui-même est intrinsèquement compliqué. Les relations profondes entre l'élevage et les industries laitières suscitent un débat considérable lorsqu'on choisit d'exclure la viande d'un régime alimentaire, mais pas le fromage et le lait. Quels que soient les choix que vous faites dans votre alimentation, plus les points sont reliés entre santé, compassion et écologie, plus votre alimentation deviendra nourrissante pour votre esprit et votre corps.

Écoutez l'interview originale entre Linda Pellacio et Rynn Berry ici.

Pour en savoir plus sur Rynn Berry et ses livres sur le végétarisme, cliquez ici.


Le théorème de Pythagore : la voie de la vérité - Histoire

Construisons des carrés sur les côtés d'un triangle rectangle. Le théorème de Pythagore prétend alors que la somme de (les aires de) deux petits carrés est égale à (l'aire de) le grand.

En termes algébriques, a 2 + b 2 = c 2c est l'hypoténuse tandis que une et b sont les côtés du triangle.

Le théorème est d'une importance fondamentale dans la géométrie euclidienne où il sert de base à la définition de la distance entre deux points. C'est tellement basique et bien connu que, je crois, quiconque a suivi des cours de géométrie au lycée ne pouvait manquer de s'en souvenir longtemps après que d'autres notions mathématiques aient été complètement oubliées.

J'ai l'intention de présenter plusieurs preuves géométriques du théorème de Pythagore. Une impulsion pour cette page a été fournie par une applet Java remarquable écrite par Jim Morey. Ceci constitue la première preuve sur cette page. L'une de mes premières applets Java a été écrite pour illustrer une autre preuve euclidienne. Actuellement, il existe plusieurs illustrations Java de diverses preuves, mais la majorité a été rendue en HTML simple avec des diagrammes graphiques simples.

Remarque

L'énoncé du théorème a été découvert sur une tablette babylonienne vers 1900-1600 av. Que Pythagore (vers 560-vers 480 av. J.-C.) ou quelqu'un d'autre de son école ait été le premier à découvrir sa preuve ne peut être revendiquée avec aucun degré de crédibilité. Euclide (vers 300 av. J.-C.) Éléments fournir la première et, plus tard, la référence standard en géométrie. L'applet de Jim Morey suit la Proposition I.47 (Premier Livre, Proposition 47), la mienne VI.31. Le théorème est réversible ce qui signifie qu'un triangle dont les côtés satisfont a 2 +b 2 =c 2 est rectangle. Euclide fut le premier (I.48) à mentionner et à prouver ce fait.

W. Dunham [Univers mathématique] cite un livre La proposition pythagoricienne par un professeur du début du 20e siècle, Elisha Scott Loomis. Le livre est une collection de 367 preuves du théorème de Pythagore et a été réédité par NCTM en 1968.

Le théorème de Pythagore se généralise aux espaces de dimensions supérieures. Certaines généralisations sont loin d'être évidentes.

Larry Hoehn a proposé une généralisation plane qui est liée à la loi des cosinus mais qui est plus courte et plus jolie.

Le théorème dont la formulation conduit à la notion de distance euclidienne et d'espaces euclidiens et de Hilbert, joue un rôle important dans l'ensemble des mathématiques. J'ai commencé à rassembler des faits mathématiques dont la preuve peut être basée sur le théorème de Pythagore.

(EWD) signe( a + b - g ) = signe(a 2 + b 2 - c 2 ),

où sign(t) est la fonction signum :

Le théorème auquel cette page est consacrée est traité comme "Si alors Dijkstra trouve à juste titre (EWD) plus symétrique et plus informatif. L'absence de quantités transcendantales ( p ) est jugée être un avantage supplémentaire.

Preuve #2

Nous commençons avec deux carrés avec des côtés une et b, respectivement, placés côte à côte. L'aire totale des deux carrés est a 2 +b 2 .

La construction n'a pas commencé avec un triangle mais maintenant nous en dessinons deux, tous deux avec des côtés une et b et hypoténuse c. A noter que le segment commun aux deux carrés a été supprimé. À ce stade, nous avons donc deux triangles et une forme étrange.

Comme dernière étape, nous faisons pivoter les triangles de 90 o , chacun autour de son sommet supérieur. Celui de droite est tourné dans le sens des aiguilles d'une montre tandis que le triangle de gauche est tourné dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. De toute évidence, la forme résultante est un carré de côté c et d'aire c 2 .

(Une variante de cette preuve se trouve dans un manuscrit existant de Thâbit ibn Qurra situé dans la bibliothèque d'Aya Sofya Musium en Turquie, enregistré sous le numéro 4832. [R. Shloming, Thâbit ibn Qurra and the Pythagorean Theorem, Mathematics Teacher 63 ( Oct., 1970), 519-528]. Le diagramme d'ibn Qurra est similaire à celui de la preuve n° 27. La preuve elle-même commence par noter la présence de quatre triangles rectangles égaux entourant une forme d'apparence étrange comme dans la preuve actuelle n° 2. Ces quatre triangles correspondent par paires aux positions de départ et de fin des triangles tournés dans la preuve courante. Cette même configuration pourrait être observée dans une preuve par pavage.)

Preuve #3

Commençons maintenant avec quatre exemplaires du même triangle. Trois d'entre eux ont été tournés de 90 o , 180 o et 270 o , respectivement. Chacun a une superficie un B/2. Assemblons-les sans rotations supplémentaires pour qu'elles forment un carré de côté c.

Le carré a un trou carré avec le côté résumant sa superficie et 2un B, l'aire des quatre triangles (4·un B/2), on obtient

Preuve #4

La quatrième approche commence avec les mêmes quatre triangles, sauf que, cette fois, ils se combinent pour former un carré avec le côté (a+b) et un trou avec le côté c. Nous pouvons calculer l'aire du grand carré de deux manières. Ainsi

(a + b) 2 = 4&point médianun B/2 + c 2

en simplifiant ce que nous obtenons l'identité nécessaire.

Preuve #5

Cette preuve, découverte par le président J.A. Garfield en 1876 [Pappas], est une variante du précédent. Mais cette fois, nous ne dessinons aucun carré. La clé maintenant est la formule pour l'aire d'un trapèze - demi-somme des bases multipliée par l'altitude - (a+b)/2&point médian(a+b). En regardant l'image d'une autre manière, cela peut également être calculé comme la somme des aires des trois triangles - un B/2 + un B/2 + c&point médianc/2. Comme précédemment, les simplifications donnent a 2 +b 2 =c 2 .

Deux copies du même trapèze peuvent être combinées de deux manières en les attachant le long du côté incliné du trapèze. L'un mène à la preuve #4, l'autre à la preuve #52.

Preuve #6

Nous commençons par le triangle d'origine, maintenant noté ABC, et n'avons besoin que d'une construction supplémentaire - l'altitude AD. Les triangles ABC, BDA et ADC sont similaires ce qui conduit à deux rapports :

AB/BC = BD/AB et AC/BC = DC/AC.

Écrit d'une autre manière, ceux-ci deviennent

AB·AB = BD·BC et AC·AC = DC·BC

Dans une correspondance privée, le Dr France Dacar, Ljubljana, Slovénie, a suggéré que le diagramme de droite pouvait servir à deux fins. Premièrement, il donne une représentation graphique supplémentaire à la présente preuve #6. De plus, il met en évidence la relation de cette dernière avec la preuve #1.

Preuve #7

La preuve suivante est tirée textuellement d'Euclide VI.31 dans la traduction de Sir Thomas L. Heath. Le grand G. Polya l'analyse dans son Induction et analogie en mathématiques (II.5) qui est une lecture recommandée aux étudiants et professeurs de mathématiques.

Dans les triangles rectangles, la figure du côté sous-tendant l'angle droit est égale aux figures similaires et décrites de la même manière sur les côtés contenant l'angle droit.

Soit ABC un triangle rectangle ayant l'angle BAC à droite Je dis que la figure sur BC est égale aux figures similaires et décrites de la même manière sur BA, AC.

Soit AD dessiné perpendiculairement. Alors puisque, dans le triangle rectangle ABC, on a tracé AD à partir de l'angle droit en A perpendiculaire à la base BC, les triangles ABD, ADC accolés à la perpendiculaire sont semblables à la fois à l'ensemble ABC et entre eux [VI.8 ].

Et, puisque ABC est similaire à ABD, donc, comme CB est à BA, ainsi est AB à BD [VI.Def.1].

Et, puisque trois droites sont proportionnelles, comme la première l'est à la troisième, le chiffre de la première est proportionnel à la figure similaire et décrite de la même manière sur la seconde [VI.19]. Par conséquent, comme CB est à BD, la figure sur CB l'est également à la figure similaire et décrite de manière similaire sur BA.

Pour la même raison également, de même que BC est à CD, le chiffre de BC l'est aussi de celui de CA, de sorte qu'en plus, comme BC est de BD, DC, le chiffre de BC l'est aussi des chiffres similaires et décrits de la même manière sur BA, AC.

Mais BC est égal à BD, DC, donc le chiffre sur BC est également égal aux chiffres similaires et décrits de la même manière sur BA, AC.

Confession

Je n'ai vraiment apprécié cette preuve qu'après avoir lu le livre de Polya dont j'ai parlé plus haut. J'espère qu'une applet Java vous aidera à aller au fond de cette preuve remarquable. Notez que l'énoncé réellement prouvé est beaucoup plus général que le théorème tel qu'il est généralement connu.

Preuve #8

En jouant avec l'applet qui démontre la preuve d'Euclide (#7), j'en ai découvert une autre qui, bien que laide, sert néanmoins le but.

Ainsi, en commençant par le triangle 1, nous en ajoutons trois autres de la manière suggérée dans la preuve n° 7 : les triangles 2, 3 et 4 similaires et décrits de manière similaire. représenté sur le schéma. Maintenant, il est possible de regarder la forme finale de deux manières :

  • comme union du rectangle (1+3+4) et du triangle 2, ou
  • comme l'union du rectangle (1+2) et de deux triangles 3 et 4.

ab/c &point médian (a 2 +b 2 )/c + ab/2 = ab + (ab/c &point médian a 2 /c + ab/c &point médian b 2 /c)/2

ab/c &point médian (a 2 +b 2 )/c/2 = ab/2, ou (a 2 +b 2 )/c 2 = 1

Remarque

Avec le recul, il existe une preuve plus simple. Regardez le rectangle (1+3+4). Son côté long est, d'une part, un c ordinaire, tandis que, d'autre part, c'est un 2 /c+b 2 /c et nous avons encore la même identité.

Preuve #9

Une autre preuve provient d'un réarrangement de pièces rigides, un peu comme la preuve #2. Cela rend la partie algébrique de la preuve #4 complètement redondante. Il n'y a pas grand-chose à ajouter aux deux images.

(Mes sincères remerciements vont à Monty Phister pour l'aimable autorisation d'utiliser les graphiques.)

Preuve #10

Cette preuve et les 3 suivantes sont venues de [PWW].

Les triangles de la preuve n°3 peuvent être réarrangés d'une autre manière qui rend l'identité pythagoricienne évidente.

(Un schéma plus éclairant sur la droite m'a été aimablement envoyé par Monty Phister.)

Preuve #11

Dessinez un cercle de rayon c et un triangle rectangle de côtés a et b, comme indiqué. Dans cette situation, on peut appliquer n'importe lequel de quelques faits bien connus. Par exemple, dans le schéma trois points F, G, H situés sur le cercle forment un autre triangle rectangle d'altitude FK de longueur a. Son hypoténuse GH est divisée dans le rapport (c+b)/(c-b). Ainsi, comme dans la preuve #6, nous obtenons a 2 = (c+b)(c-b) = c 2 - b 2 .

Preuve #12

Cette preuve est une variation sur #1, une des preuves originales d'Euclide. Dans les parties 1, 2 et 3, les deux petits carrés sont cisaillés l'un vers l'autre de telle sorte que la zone ombrée totale reste inchangée (et égale à a 2 +b 2 .) Dans la partie 3, la longueur de la partie verticale de la partie ombrée la frontière de la zone est exactement c car les deux triangles restants sont des copies de l'original. Cela signifie que l'on peut glisser vers le bas de la zone ombrée comme dans la partie 4. De là, le théorème de Pythagore suit facilement.

(Cette preuve peut être trouvée dans H. Eves, Dans les cercles mathématiques, MAA, 2002, p. 74-75)

Preuve #13

Dans le diagramme il y a plusieurs triangles similaires (abc, a'b'c', a'x et b'y.) On a successivement

y/b = b'/c, x/a = a'/c, cy + cx = aa' + bb'.

Et, enfin, cc' = aa' + bb'. Cela ressemble beaucoup à la preuve n°6 mais le résultat est plus général.

Preuve #14

Cette démonstration de H.E. Dudeney (1917) commence par découper le carré du plus grand côté en quatre parties qui sont ensuite combinées avec la plus petite pour former le carré construit sur l'hypoténuse.

Greg Frederickson de l'Université Purdue, l'auteur d'un livre vraiment éclairant, Dissections: Avion & Fantaisie (Cambridge University Press, 1997), a souligné l'inexactitude historique :

Vous avez attribué la preuve #14 à S.E. Dudeney (1917), mais il a en fait été publié plus tôt (1873) par Henry Perigal, un agent de change londonien. Une preuve de dissection différente est apparue beaucoup plus tôt, donnée par le mathématicien/astronome arabe Thabit au Xe siècle. J'ai inclus des détails sur ces preuves et d'autres dissections (y compris les preuves de la loi des cosinus) dans mon livre récent "Dissections: Plane & Fancy", Cambridge University Press, 1997. Vous pourriez apprécier la page Web du livre :

Bill Casselman de l'Université de la Colombie-Britannique appuie l'information de Greg. Le mien vient de Preuves sans mots par R.B.Nelsen (MAA, 1993).

Preuve #15

Cette preuve remarquable de K. O. Friedrichs est une généralisation de la précédente de Dudeney. C'est effectivement général. Il est général dans le sens où une variété infinie de preuves géométriques spécifiques peut en être dérivée. (Roger Nelsen attribue [PWWII, p 3] cette preuve à Annairizi d'Arabie (ca. 900 A.D.))

Preuve #16

Cette preuve est attribuée à Léonard de Vinci (1452-1519) [Eves]. Les quadrilatères ABHI, JHBC, ADGC et EDGF sont tous égaux. (Cela découle de l'observation que l'angle ABH est de 45°. Il en est ainsi parce que ABC est rectangle, donc le centre O du carré ACJI se trouve sur le cercle circonscrit au triangle ABC. De toute évidence, l'angle ABO est de 45°.) Maintenant, aire(ABHI)+aire(JHBC)=aire(ADGC)+aire(EDGF). Chaque somme contient deux aires de triangles égales à ABC (IJH ou BEF) en retirant laquelle on obtient le théorème de Pythagore.

David King modifie quelque peu l'argument

Les longueurs de côté des hexagones sont identiques. Les angles en P (angle droit + angle entre a & c) sont identiques. Les angles à Q (angle droit + angle entre b & c) sont identiques. Par conséquent, les quatre hexagones sont identiques.

Preuve #17

Cette preuve apparaît dans le livre IV de Collection Mathématique par Pappus d'Alexandrie (ca 300 après JC) [Eves, Pappas]. Il généralise le théorème de Pythagore de deux manières : le triangle ABC n'a pas besoin d'être rectangle et les formes construites sur ses côtés sont des parallélogrammes arbitraires au lieu de carrés. Construisons donc les parallélogrammes CADE et CBFG sur les côtés AC et, respectivement, BC. Soit DE et FG se rencontrent dans H et trace AL et BM parallèles et égaux à HC. Alors aire(ABML)=aire(CADE)+aire(CBFG). En effet, avec la transformation de cisaillement déjà utilisée dans les preuves #1 et #12, area(CADE)=area(CAUH)=area(SLAR) et aussi area(CBFG)=area(CBVH)=area(SMBR). Maintenant, additionnez simplement ce qui est égal.

Preuve #18

Ceci est une autre généralisation qui ne nécessite pas d'angles droits. C'est à cause de Thâbit ibn Qurra (836-901) [Eves]. Si les angles CAB, AC'B et AB'C sont égaux alors En effet, les triangles ABC, AC'B et AB'C sont similaires. Ainsi nous avons et qui conduit immédiatement à l'identité requise. Dans le cas où l'angle A est droit, le théorème se réduit à la proposition de Pythagore et à la preuve #6.

Preuve #19

Cette preuve est une variation sur #6. Sur le petit côté AB, ajoutez un triangle rectangle ABD semblable à ABC. Alors, naturellement, DBC est similaire aux deux autres. De AD = AB 2 /AC et BD = AB·BC/AC, nous dérivons la division par AB/AC conduit à

Preuve #20

Celui-ci est un croisement entre le #7 et le #19. Construisez des triangles ABC', BCA' et ACB' semblables à ABC, comme dans le diagramme. Par construction, De plus, les triangles ABB' et ABC' sont également égaux. Ainsi nous concluons que De la similitude des triangles nous obtenons comme avant B'C = AC 2 /BC et BC' = AC·AB/BC. En mettant tout cela ensemble, on obtient ce qui est le même que

Preuve #21

Ce qui suit est un extrait d'une lettre du Dr Scott Brodie de la Mount Sinai School of Medicine, NY, qui m'a envoyé quelques preuves du théorème proprement dit et de sa généralisation à la loi des cosinus :

La première preuve que je transmets simplement de l'excellente discussion de la série Projet Mathématiques, basée sur le théorème de Ptolémée sur les quadrilatères inscrits dans un cercle : pour de tels quadrilatères, la somme des produits des longueurs des côtés opposés, pris deux à deux, est égal à la produit des longueurs des deux diagonales. Pour le cas d'un rectangle, cela se réduit immédiatement à a 2 + b 2 = c 2 .

Preuve #22

Voici la deuxième preuve de la lettre du Dr Scott Brodie.

On prend comme connu un théorème de « puissance du point » : Si un point est pris à l'extérieur d'un cercle, et à partir du point un segment est tracé tangent au cercle et un autre segment (une sécante) est tracé qui coupe le cercle en deux points distincts, le carré de la longueur de la tangente est égal au produit de la distance le long de la sécante du point extérieur au point d'intersection le plus proche avec le cercle et de la distance le long de la sécante au point d'intersection le plus éloigné avec le cercle.

Soit ABC un triangle rectangle, avec l'angle droit en C. Dessiner l'altitude de C à l'hypoténuse soit P le pied de cette altitude. Alors puisque CPB est à droite, le point P se trouve sur le cercle de diamètre BC et puisque CPA est à droite, le point P se trouve sur le cercle de diamètre AC. Par conséquent, l'intersection des deux cercles sur les jambes BC, CA du triangle rectangle d'origine coïncide avec P, et en particulier, se trouve sur AB. Désigne par X et oui les longueurs des segments BP et PA, respectivement, et, comme d'habitude laissez a, b, c désignent les longueurs des côtés de ABC opposés aux angles A, B, C respectivement. Puis, X + oui = c.

Puisque l'angle C est droit, BC est tangent au cercle de diamètre CA, et le théorème de puissance stipule que un 2 = xc de même, AC est tangente au cercle de diamètre BC, et b 2 = yc. En ajoutant, on trouve un 2 + b 2 = xc + yc = c 2 , Q.E.D.

Le Dr Brodie a également créé un fichier SketchPad de Geometer pour illustrer cette preuve.

Preuve #23

Une autre preuve est basée sur la formule de Heron que j'ai déjà utilisée dans la preuve n°7 pour afficher les zones triangulaires. C'est une manière assez alambiquée de prouver le théorème de Pythagore qui, néanmoins, réfléchit sur la centralité du théorème dans la géométrie du plan.

Preuve #24

[Swetz] attribue cette preuve à abu' l'Hasan Thâbit ibn Qurra Marwân al'Harrani (826-901). C'est la seconde des preuves données par Thácircbit ibn Qurra. Le premier est essentiellement le n°2 ci-dessus.

La preuve ressemble à la partie 3 de la preuve #12. ABC = FLC = FMC = LIT = AGH = FGE. D'une part, l'aire de la forme ABDFH est égale à AC 2 + BC 2 + aire (ABC + FMC + FLC). Par contre aire(ABDFH) = AB 2 + aire(BED + FGE + AGH).

Il s'agit d'une variante "dépliée" de la preuve ci-dessus. Deux régions pentagonales - la rouge et la bleue - sont évidemment égales et laissent la même zone lors de la suppression de trois triangles égaux de chacune.

La preuve est popularisée par Monty Phister, auteur de l'inimitable Mathématiques noueuses CD ROM.

Preuve #25

B.F.Yanney (1903, [Swetz]) a donné une preuve en utilisant "l'argument glissant" également utilisé dans les preuves #1 et #12. Successivement, les zones de LMOA, LKCA et ACDE (qui est AC 2 ) sont égales de même que les zones de HMOB, HKCB et HKDF (dont BC 2 ). BC = DF. Ainsi AC 2 + BC 2 = aire(LMOA) + aire(HMOB) = aire(ABHL) = AB 2 .

Preuve #26

Cette preuve je l'ai découverte sur le site maintenu par Bill Casselman où elle est présentée par une applet Java.

Avec toutes les preuves ci-dessus, celle-ci doit être simple. Triangles similaires comme dans les preuves #6 ou #13.

Preuve #27

Les mêmes pièces que dans la preuve #26 peuvent être réarrangées d'une autre manière encore.

Cette dissection est souvent attribuée au mathématicien hollandais du 17 e siècle Frans van Schooten. [Frédéricson, p. 35] le considère comme une variante articulée d'un par ibn Qurra, voir la note entre parenthèses suivant la preuve #2. Le Dr France Dacar de Slovénie a souligné que ce même diagramme s'explique facilement avec un pavage dans la preuve #15. En fait, cela s'explique peut-être mieux par un pavage différent. (Je remercie Douglas Rogers d'avoir mis les choses au clair pour moi.)

Preuve #28

Melissa Running de MathForum m'a aimablement envoyé un lien vers Une preuve du théorème de Pythagore par Liu Hui (IIIe siècle après JC). La page est maintenue par Donald B. Wagner, un expert en histoire de la science et de la technologie en Chine. Le diagramme est une reconstruction à partir d'une description écrite d'un algorithme par Liu Hui (IIIe siècle après JC). Pour plus de détails, vous êtes renvoyé à la page d'origine.

Preuve #29

Une preuve mécanique du théorème mérite une page à part.

Pertinent à cette preuve est une page de preuves "extra-géométriques" du théorème de Pythagore par Scott Brodie

Preuve #30

Cette preuve que j'ai trouvée dans la suite de R. Nelsen Preuves sans mots II. (C'est dû à Poo-sung Park et a été initialement publié dans Revue de Mathématiques, décembre 1999). En commençant par l'un des côtés d'un triangle rectangle, construisez 4 triangles rectangles isocèles congrus avec des hypoténuses de deux perpendiculaires et des sommets ultérieurs éloignés du triangle donné. L'hypoténuse du premier de ces triangles (en rouge sur le schéma) doit coïncider avec l'un des côtés.

Les sommets des triangles isocèles forment un carré dont le côté est égal à l'hypoténuse du triangle donné. Les hypoténuses de ces triangles coupent les côtés du carré en leur milieu. De sorte qu'il semble y avoir 4 paires de triangles égaux (une des paires est en vert). L'un des triangles de la paire est à l'intérieur du carré, l'autre est à l'extérieur. Soit les côtés du triangle d'origine a, b, c (hypoténuse). Si le premier triangle isocèle a été construit sur le côté b, alors chacun a une aire b 2 /4. On obtient

Voici une illustration dynamique et un autre diagramme qui montre comment disséquer deux petits carrés et les réorganiser dans le grand.

Preuve #31

Étant donné la droite ABC, notons, comme d'habitude, les longueurs des côtés BC, AC et celle de l'hypoténuse par a, b et c, respectivement. Dresser des carrés sur les côtés BC et AC comme sur le schéma. D'après SAS, les triangles ABC et PCQ sont égaux, de sorte que Soit M le milieu de l'hypoténuse. Notons l'intersection de MC et PQ par R. Montrons que

La médiane à l'hypoténuse est égale à la moitié de cette dernière. Par conséquent, CMB est isocèle et Mais nous avons aussi D'ici et il s'ensuit que l'angle CRP est droit, ou

Avec ces préliminaires, nous nous tournons vers les triangles MCP et MCQ. Nous évaluons leurs surfaces de deux manières différentes :

D'une part, l'altitude de M à PC est égale à AC/2 = b/2. Mais aussi Par conséquent, D'autre part, De même, et aussi

On peut résumer les deux identités : ou

(Ma gratitude va à Floor van Lamoen qui a porté cette preuve à mon attention. Elle est parue dans Pythagoras - un magazine de mathématiques néerlandais pour les écoliers - dans le numéro de décembre 1998, dans un article de Bruno Ernst. La preuve est attribuée à une lycéenne américaine de 1938 du nom d'Ann Condit.)

Preuve #32

Soit ABC et DEF deux triangles rectangles congrus tels que B se trouve sur DE et A, F, C, E sont colinéaires. , , . Évidemment, calculez la zone de l'ADE de deux manières différentes.

Aire (ADE) = AB·DE/2 = c 2 /2 et aussi CE peuvent être trouvés à partir de triangles similaires BCE et DFE : en rassemblant les choses, nous obtenons

(Cette preuve est une simplification de l'une des preuves de Michelle Watkins, étudiante à l'Université de Floride du Nord, parue dans Spectre mathématique 1997/98, v30, n3, 53-54.)

Douglas Rogers a observé qu'un même diagramme peut être traité différemment :

La preuve 32 peut être rangée un peu plus loin, dans le sens des preuves ultérieures ajoutées plus récemment, évitant ainsi des triangles similaires.

Bien entendu, ADE est un triangle de base DE de hauteur AB, donc d'aire cc/2.

Mais il peut être disséqué en le triangle FEB et le quadrilatère ADBF. Le premier a la base FE et la hauteur BC, donc l'aire aa/2. Ce dernier est quant à lui constitué de deux triangles dos à dos sur la base DF avec des hauteurs combinées AC, donc aire bb/2. Une autre dissection considère le triangle ADE comme composé du triangle ADC et du triangle CDE, qui, à son tour, se compose de deux triangles dos à dos sur la base BC, avec des hauteurs combinées EF.

Les deux épreuves suivantes ont accompagné le message suivant de Shai Simonson, professeur au Stonehill College de Cambridge, MA :

J'aimais parcourir votre site et je suis tombé sur la longue liste de preuves du théorème de Pyth.

Dans mon cours "L'histoire de l'ingéniosité mathématique", j'utilise deux preuves qui utilisent un cercle inscrit dans un triangle rectangle. Chaque preuve utilise deux diagrammes, et chacun est une vue géométrique différente d'une seule preuve algébrique que j'ai découverte il y a de nombreuses années et publiée dans une lettre au professeur de mathématiques.

Les deux preuves géométriques ne nécessitent pas de mots, mais nécessitent un peu de réflexion.

Preuve #33

Preuve #34

Preuve #35

Cracked Domino - une preuve de Mario Pacek (alias Pakoslaw Gwizdalski) - nécessite également une réflexion.

Le justificatif envoyé par email était accompagné du message suivant :

Cette nouvelle preuve extraordinaire et extrêmement élégante de très probablement le théorème le plus fondamental en mathématiques (hautement vainqueur par rapport au nombre de preuves 367 ?) ), car il est direct, n'implique aucune formule et même les enfants d'âge préscolaire peuvent l'obtenir. Très probablement, il est identique à l'original perdu - mais qui peut le prouver ? Pas encore dans le Livre Guinness des Records !

La manière dont les pièces sont combinées peut bien être originale. La dissection elle-même est bien connue (voir Preuves 26 et 27) et est décrite dans le livre de Frederickson, p. 29. On y remarque que B. Brodie (1884) a observé que la dissection comme celle-là s'applique également à des rectangles similaires. La dissection est aussi un cas particulier de la preuve par superposition de K.O.Friedrichs.

Preuve #36

Cette preuve est due à J. E. Böttcher et a été citée par Nelsen (Preuves sans mots II, p. 6).

Je pense que déchiffrer cette preuve sans mots est un bon exercice pour les cours de géométrie au collège ou au lycée.

Preuve #37

Une applet de David King qui démontre cette preuve a été placée sur une page séparée.

Preuve #38

Cette preuve m'a également été communiquée par David King. Des carrés et 2 triangles se combinent pour produire deux hexagones d'aire égale, qui auraient pu être établis comme dans la preuve n°9. Cependant, les deux hexagones tessellent l'avion.

Pour chaque hexagone dans le pavage gauche, il y a un hexagone dans le pavage droit. Les deux tessellations ont la même structure en treillis qui est démontrée par une applet. Le théorème de Pythagore est prouvé après avoir retiré deux triangles de chacun des hexagones.

Preuve #39

(Par J. Barry Sutton, The Math Gazette , v 86, n 505, mars 2002, p72.)

Soit ABC, angle C = 90 o . Comme d'habitude, définir les points D et E sur AB de sorte que

Par construction, C se trouve sur le cercle de centre A et de rayon b. L'angle DCE sous-tend son diamètre et est donc juste : il s'ensuit que puisque ACE est isocèle,

Les triangles DBC et EBC partagent DBC. De plus, Par conséquent, les triangles DBC et EBC sont similaires. Nous avons ou

a 2 = c 2 - b 2 ,
a 2 + b 2 = c 2 .

Le schéma rappelle la preuve de Thácircbit ibn Qurra. Mais les deux sont assez différents.

Preuve #40

Celui-ci est de Michael Hardy de l'Université de Tolède et a été publié dans The Mathematical Intelligencer en 1988. Il doit être pris avec des pincettes.

Soit ABC un triangle rectangle avec l'hypoténuse BC. Notons et Puis, à mesure que C se déplace le long de la ligne AC, x change et y fait de même. Supposons que x ait changé d'une petite quantité dx. Puis y a légèrement changé dy. Le triangle CDE peut être approximativement considéré comme droit. En supposant qu'il le soit, il partage un angle (D) avec le triangle ABD, et est donc similaire à ce dernier. Cela conduit à la proportion ou à une équation différentielle (séparable)

ce qui après intégration donne y 2 - x 2 = const. La valeur de la constante est déterminée à partir de la condition initiale de Since pour tout x.

Il est facile de contester cette preuve. Que signifie être un triangle ? Je peux offrir l'explication suivante. Les triangles ABC et ABD sont droits par construction. Nous avons, et aussi par le théorème de Pythagore. En termes de x et y, le théorème apparaît comme

x 2 + a 2 = y 2
(x + dx) 2 + a 2 = (y + dy) 2

qui, après soustraction, donne

Pour les petits dx et dy, dx 2 et dy 2 sont encore plus petits et peuvent être négligés, ce qui conduit à

L'astuce dans la vignette de Michael est de sauter la question de l'approximation. Mais peut-on vraiment justifier la dérivation sans s'appuyer en premier lieu sur le théorème de Pythagore ? Quoi qu'il en soit, je trouve très heureux que l'équation omniprésente soit placée dans ce contexte géométrique.

Preuve #41

Celui-ci m'a été envoyé par Geoffrey Margrave de Lucent Technologies. Il ressemble beaucoup au n°8, mais il est obtenu d'une manière différente. Créez 3 copies à l'échelle du triangle de côtés a, b, c en le multipliant successivement par a, b et c.Ensemble, les trois triangles semblables ainsi obtenus forment un rectangle dont le côté supérieur est , tandis que le côté inférieur est c 2 . (Ce qui montre également que #8 aurait pu être conclu de manière plus courte.)

De plus, ne choisir que deux triangles conduit à une variante des preuves n°6 et n°19 :

Sous cette forme la preuve apparaît dans [Birkhoff, p. 92].

Encore une autre variante qui pourrait être liée au #8 a été envoyée par James F. :

Ce dernier a un jumeau avec a et b échangeant leurs rôles.

Preuve #42

La preuve est basée sur le même schéma que #33 [Pritchard, p. 226-227].

L'aire d'un triangle est évidemment rp, où r est le cercle inscrit et le demi-périmètre du triangle. A partir du diagramme, l'hypothénuse ou l'aire du triangle est alors calculée de deux manières :

(La preuve est due à Jack Oliver, et a été initialement publiée dans Gazette mathématique 81 (mars 1997), p 117-118.)

Preuve #43

Appliquez le théorème de la puissance d'un point au diagramme ci-dessus où le côté a sert de tangente à un cercle de rayon b : Le résultat suit immédiatement.

(La configuration ici est essentiellement la même que dans la preuve #39. L'invocation du théorème de la puissance d'un point peut être considérée comme un raccourci vers l'argument de la preuve #39.)

Preuve #44

La preuve suivante liée à #39, a été soumise par Adam Rose (23 septembre 2004.)

Commencer par deux triangles rectangles identiques : ABC et AFE, A le milieu de BE et CF. Marquez D sur AB et G sur l'extension de AF, tels que

(Pour d'autres notations, reportez-vous au diagramme ci-dessus.) BCD est isocèle. Par conséquent, puisque l'angle C est droit,

Puisque AFE est extérieur à EFG, Mais EFG est également isocèle. Ainsi

Nous avons maintenant deux droites, CD et EG, traversées par CG avec deux angles intérieurs alternés, ACD et AGE, égaux. Par conséquent, CD||EG. Les triangles ACD et AGE sont similaires, et AD/AC = AE/AG :

et le théorème de Pythagore suit.

Preuve #45

Cette preuve est due à Douglas Rogers qui l'a trouvée au cours de son enquête sur l'histoire des mathématiques chinoises. Les deux ont également des versions en ligne :

La preuve est une variation sur #33, #34 et #42. La preuve se déroule en deux étapes. Tout d'abord, comme on peut le constater à partir de

où d est le diamètre du cercle inscrit dans un triangle rectangle de côtés a et b et l'hypoténuse c. Sur cette base et en réarrangeant les pièces de deux manières, nous fournissons une autre preuve sans mots du théorème de Pythagore :

Preuve #46

Cette preuve est due à Tao Tong (professeur de mathématiques, février 1994, Reader Reflections). Je l'ai appris par les bons services de Douglas Rogers qui a également porté à mon attention les épreuves #47, #48 et #49. Dans l'esprit, la preuve ressemble à la preuve #32.

Soit ABC et BED des triangles rectangles égaux, avec E sur AB. Nous allons évaluer l'aire d'ABD de deux manières :

En utilisant les notations comme indiqué dans le schéma que nous obtenons, on peut trouver en notant la similitude des triangles BFC et ABC :

Les deux formules se combinent facilement dans l'identité pythagoricienne.

Preuve #47

Cette preuve qui est due à un lycéen John Kawamura a été rapportée par Chris Davis, son professeur de géométrie à la Head-Rouce School, Oakland, CA (Mathematics Teacher, avril 2005, p. 518.)

La configuration est pratiquement identique à celle de la preuve #46, mais cette fois nous nous intéressons à l'aire du quadrilatère ABCD. Ses deux diagonales perpendiculaires ont une longueur c, de sorte que son aire est égale à c 2 /2. D'autre part,

En multipliant par 2, on obtient le résultat souhaité.

Preuve #48

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette , 8 (1915-1916), p. 268.)

Dans le diagramme, deux triangles rectangles - ABC et ADE - sont égaux et E est situé sur AB. Comme dans la démonstration du président Garfield, nous évaluons l'aire d'un trapèze ABCD de deux manières :

où, comme dans la preuve #47, c·c est le produit des deux diagonales perpendiculaires du quadrilatère AECD. D'autre part,

En combinant les deux on obtient c 2 /2 = a 2 /2 + b 2 /2, ou, après multiplication par 2,

Preuve #49

Dans la preuve précédente, nous pouvons procéder un peu différemment. Complétez un carré sur les côtés AB et AD des deux triangles. Son aire est, d'une part, b 2 et, d'autre part,

ce qui revient à la même identité que précédemment.

Douglas Rogers qui a observé la relation entre les preuves 46-49 a également remarqué qu'un carré aurait pu être dessiné sur les plus petites pattes des deux triangles si le deuxième triangle est dessiné dans la position "bas" comme dans les preuves 46 et 47. Dans ce cas, nous évaluerons à nouveau l'aire du quadrilatère ABCD de deux manières. En référence au deuxième des schémas ci-dessus,

Il a également souligné qu'il est possible de penser à l'un des triangles rectangles comme glissant de sa position dans la preuve #46 à sa position dans la preuve #48 de sorte que sa jambe courte glisse le long de la jambe longue de l'autre triangle. A n'importe quelle position intermédiaire est présent un quadrilatère avec des diagonales égales et perpendiculaires, de sorte que pour toutes les positions, il est possible de construire des preuves analogues à ce qui précède. Le triangle reste toujours à l'intérieur d'un carré de côté b - la longueur de la longue jambe des deux triangles. Maintenant, nous pouvons aussi imaginer le triangle ABC glisser à l'intérieur de ce carré. Ce qui conduit à une preuve qui généralise directement #49 et inclut des configurations de preuves 46-48. Voir ci-dessous.

Preuve #50

L'aire du grand carré KLMN est b 2 . Le carré est divisé en 4 triangles et un quadrilatère :

Ce n'est pas une dérivation intéressante, mais cela montre que, face à une tâche de simplification d'expressions algébriques, multiplier par tous les termes en supprimant toutes les parenthèses peut ne pas être la meilleure stratégie. Dans ce cas, cependant, il existe même une meilleure stratégie qui évite complètement les longs calculs. Sur la suggestion de Douglas Rogers, complétez chacun des quatre triangles en un rectangle approprié :

Les quatre rectangles coupent toujours un carré de taille a, de sorte que leur aire totale est b 2 - a 2 . On peut donc finir la preuve comme dans les autres preuves de cette série :

Preuve #51

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette , 7 (1913-1914), p. 168.)

Celui-ci est une gracieuseté de Douglas Rogers de sa vaste collection. Comme dans la preuve #2, le triangle est tourné de 90 o autour d'un de ses coins, de sorte que l'angle entre les hypoténuses dans deux positions est droit. La forme résultante de la zone b 2 est ensuite disséquée en deux triangles rectangles avec des longueurs de côté et et des zones c 2 /2 et

Preuve #52

Cette preuve, découverte par un lycéen, Jamie deLemos (The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 79.), a été citée par Larry Hoehn ( The Mathematics Teacher, 90 (1997), pp. 438-441. )

D'une part, l'aire du trapèze est égale à

L'égalité des deux donne a 2 + b 2 = c 2 .

La preuve est étroitement liée à la preuve du président Garfield.

Preuve #53

Larry Hoehn a également publié la preuve suivante ( The Mathematics Teacher , 88 (1995), p. 168.):

Prolongez la jambe AC ​​du triangle rectangle ABC à D de façon à ce que, comme dans le schéma. En D tracer une perpendiculaire à CD. En A tracer une bissectrice de l'angle BAD. Soit les deux droites se rejoignent en E. Enfin, soit EF perpendiculaire à CF.

Par cette construction, les triangles ABE et ADE partagent le côté AE, ont deux autres côtés égaux : ainsi que les angles formés par ces côtés : Par conséquent, les triangles ABE et ADE sont congrus par SAS. De là, l'angle ABE est à droite.

Il s'ensuit que dans les triangles rectangles ABC et BEF, les angles ABC et EBF totalisent 90 o . Ainsi

Les deux triangles sont semblables, de sorte que

Mais, EF = CD, ou x = b + c, ce qui en combinaison avec la proportion ci-dessus donne

D'autre part, y = u + a, ce qui conduit à

ce qui se simplifie facilement en c 2 = a 2 + b 2 .

Preuve #54k

Plus tard ( The Mathematics Teacher , 90 (1997), pp. 438-441.) Larry Hoehn a revu sa preuve et en a produit une générique, ou plutôt toute une famille de preuves à 1 paramètre, qui, pour diverses valeurs de le paramètre, incluait sa preuve plus ancienne ainsi que #41. Ci-dessous je vous propose une variante simplifiée inspirée des travaux de Larry.

Pour reproduire le point essentiel de la preuve #53, c'est-à-dire avoir un triangle rectangle ABE et un autre BEF, ce dernier étant similaire à ABC, on peut simplement placer BEF de côtés ka, kb, kc, pour certains k, comme le montre le schéma . Pour que le diagramme ait un sens, nous devons restreindre k de sorte que (Cela garantit que D ne descend pas en dessous de A.)

Maintenant, l'aire du rectangle CDEF peut être calculée directement comme le produit de ses côtés ka et (kb + a), ou comme la somme des aires des triangles BEF, ABE, ABC et ADE. Ainsi on obtient

qui après simplification se réduit à

ce qui n'est qu'à un pas de la proposition pythagoricienne.

La preuve fonctionne pour toute valeur de k satisfaisant kb/a. En particulier, car nous obtenons la preuve #41. De plus, conduit à la preuve #53. Bien sûr, nous obtiendrions le même résultat en représentant l'aire du trapèze AEFB de deux manières. Car cela conduirait à la preuve du président Garfield.

Évidemment, traiter un trapèze est moins restrictif et fonctionne pour toute valeur positive de k.


Le théorème de Pythagore : la voie de la vérité - Histoire


Département de l'enseignement des mathématiques
J. Wilson, EMT 669

Le théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore était l'un des premiers théorèmes connus des civilisations anciennes. Ce théorème célèbre porte le nom du mathématicien et philosophe grec Pythagore. Pythagore a fondé l'école de mathématiques de Pythagore à Cortona, un port grec du sud de l'Italie. Il est crédité de nombreuses contributions aux mathématiques, bien que certaines d'entre elles puissent en fait être l'œuvre de ses étudiants.

Le théorème de Pythagore est la contribution mathématique la plus célèbre de Pythagore. Selon la légende, Pythagore était si heureux quand il a découvert le théorème qu'il a offert un sacrifice de bœufs. La découverte ultérieure que la racine carrée de 2 est irrationnelle et, par conséquent, ne peut pas être exprimée sous la forme d'un rapport de deux nombres entiers, a grandement troublé Pythagore et ses disciples. Ils croyaient avec ferveur que deux longueurs quelconques étaient des multiples entiers d'une unité de longueur. De nombreuses tentatives ont été faites pour supprimer la connaissance que la racine carrée de 2 est irrationnelle. On dit même que l'homme qui a divulgué le secret s'est noyé en mer.

Le théorème de Pythagore est un énoncé sur les triangles contenant un angle droit. Le théorème de Pythagore stipule que :

"L'aire du carré construit sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale à la somme des aires des carrés sur les côtés restants."

D'après le théorème de Pythagore, la somme des aires des deux carrés rouges, carrés A et B, est égale à l'aire du carré bleu, carré C.

Ainsi, le théorème de Pythagore énoncé algébriquement est :

pour un triangle rectangle avec des côtés de longueurs a, b et c, où c est la longueur de l'hypoténuse.

Bien que Pythagore soit crédité du célèbre théorème, il est probable que les Babyloniens connaissaient le résultat pour certains triangles spécifiques au moins un millénaire avant Pythagore. On ne sait pas comment les Grecs ont à l'origine démontré la preuve du théorème de Pythagore. Si les méthodes du livre II des éléments d'Euclide ont été utilisées, il est probable qu'il s'agissait d'une preuve de type dissection similaire à la suivante :

"Un grand carré de côté a+b est divisé en deux petits carrés de côtés a et b respectivement, et deux rectangles égaux avec des côtés a et b chacun de ces deux rectangles peut être divisé en deux triangles rectangles égaux en dessinant la diagonale c. Les quatre triangles peuvent être disposés à l'intérieur d'un autre carré de côté a+b comme représenté sur les figures.

L'aire du carré peut être représentée de deux manières différentes :

1. Comme la somme de l'aire des deux rectangles et des carrés :


2. Comme la somme des aires d'un carré et des quatre triangles :

Maintenant, en mettant les deux expressions du côté droit dans ces équations égales, donne


Par conséquent, le carré sur c est égal à la somme des carrés sur a et b. (Burton 1991)

Il existe de nombreuses autres preuves du théorème de Pythagore. L'un provenait de la civilisation chinoise contemporaine trouvée dans le plus ancien texte chinois existant contenant des théories mathématiques formelles, l'arithmétique classique du gnoman et les chemins circulaires du ciel.

La preuve du théorème de Pythagore qui a été inspiré par une figure de ce livre a été incluse dans le livre Vijaganita, (Root Calculs), par le mathématicien hindou Bhaskara. La seule explication de Bhaskara de sa preuve était, simplement, "Voici".

Ces preuves et la découverte géométrique entourant le théorème de Pythagore ont conduit à l'un des premiers problèmes de la théorie des nombres connu sous le nom de problème de Pythagore.

Trouvez tous les triangles rectangles dont les côtés sont de longueur entière, trouvant ainsi toutes les solutions dans les entiers positifs de l'équation de Pythagore :

Les trois nombres entiers (x, y, z) qui satisfont cette équation sont appelés un triplet de Pythagore.


La formule qui générera tous les triplets de Pythagore est apparue pour la première fois dans le livre X des éléments d'Euclide :


où n et m sont des entiers positifs de parité opposée et m>n.

Dans son livre Arithmetica, Diophante a confirmé qu'il pouvait obtenir des triangles rectangles en utilisant cette formule bien qu'il y soit arrivé sous un raisonnement différent.

Le théorème de Pythagore peut être présenté aux élèves pendant les années de collège. Ce théorème devient de plus en plus important au cours des années de lycée. Il ne suffit pas d'énoncer simplement la formule algébrique du théorème de Pythagore. Les élèves doivent également voir les connexions géométriques. L'enseignement et l'apprentissage du théorème de Pythagore peuvent être enrichis et améliorés grâce à l'utilisation de papier à points, de géoplans, de pliage de papier et de technologie informatique, ainsi que de nombreux autres supports pédagogiques. Grâce à l'utilisation de matériel de manipulation et d'autres ressources pédagogiques, le théorème de Pythagore peut signifier bien plus pour les élèves que simplement

et en insérant des nombres dans la formule.

Ce qui suit est une variété de preuves du théorème de Pythagore, dont une par Euclide. Ces preuves, ainsi que les manipulations et la technologie, peuvent grandement améliorer la compréhension des élèves du théorème de Pythagore.

Ce qui suit est un résumé de la preuve par Euclide, l'un des mathématiciens les plus célèbres. Cette preuve se trouve dans le livre I des éléments d'Euclide.

Proposition : Dans les triangles rectangles, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des jambes.

Euclide a commencé avec la configuration pythagoricienne montrée ci-dessus dans la figure 2. Ensuite, il a construit une ligne perpendiculaire de C au segment DJ sur le carré de l'hypoténuse. Les points H et G sont les intersections de cette perpendiculaire avec les côtés du carré sur l'hypoténuse. Il se situe le long de l'altitude jusqu'au triangle rectangle ABC. Voir la figure 3.

Ensuite, Euclide a montré que l'aire du rectangle HBDG est égale à l'aire du carré sur BC et que l'aire du rectangle HAJG est égale à l'aire du carré sur AC. Il a prouvé ces égalités en utilisant le concept de similitude. Les triangles ABC, AHC et CHB sont similaires. L'aire du rectangle HAJG est (HA)(AJ) et puisque AJ = AB, l'aire est aussi (HA)(AB). La similitude des triangles ABC et AHC signifie

ou, comme il faut le prouver, l'aire du rectangle HAJG est la même que l'aire du carré de côté AC. De la même manière, les triangles ABC et CHG sont similaires. Donc

Puisque la somme des aires des deux rectangles est l'aire du carré sur l'hypoténuse, ceci termine la preuve.

Euclide tenait à mettre ce résultat dans son œuvre le plus tôt possible. Cependant, comme son travail sur la similitude ne devait pas se faire avant les livres V et VI, il lui était nécessaire de trouver une autre façon de prouver le théorème de Pythagore. Ainsi, il a utilisé le résultat que les parallélogrammes sont le double des triangles ayant la même base et entre les mêmes parallèles. Dessinez CJ et BE.

L'aire du rectangle AHGJ est le double de l'aire du triangle JAC, et l'aire du carré ACLE est le double du triangle BAE. Les deux triangles sont congrus par SAS. Le même résultat suit de manière similaire pour l'autre rectangle et carré. (Katz, 1993)

Cliquez ici pour une animation GSP pour illustrer cette preuve.
Les trois preuves suivantes sont des preuves plus faciles à voir du théorème de Pythagore et seraient idéales pour les étudiants en mathématiques du secondaire. En fait, ce sont des preuves que les élèves pourraient être capables de se construire à un moment donné.
La première preuve commence par un rectangle divisé en trois triangles contenant chacun un angle droit. Cette preuve peut être vue par l'utilisation de la technologie informatique, ou avec quelque chose d'aussi simple qu'une fiche 3x5 découpée en triangles rectangles.

On peut voir que les triangles 2 (en vert) et 1 (en rouge), chevaucheront complètement le triangle 3 (en bleu). Maintenant, nous pouvons donner une preuve du théorème de Pythagore en utilisant ces mêmes triangles.

I. Comparez les triangles 1 et 3.

Les angles E et D sont respectivement les angles droits de ces triangles. En comparant leurs similitudes, nous avons

et d'après la figure 6, BC = AD. Donc,

Par multiplication croisée, on obtient :

II. Comparez les triangles 2 et 3 :

En comparant les similitudes des triangles 2 et 3 on obtient :

D'après la figure 4, AB = CD. Par substitution,

Finalement, en additionnant les équations 1 et 2, on obtient :

Nous avons prouvé le théorème de Pythagore.

La preuve suivante est une autre preuve du théorème de Pythagore qui commence par un rectangle. Il commence par construire le rectangle CADE avec BA = DA. Ensuite, nous construisons la bissectrice de <BAD et la laissons intersecter ED au point F. Ainsi, <BAF est congru à <DAF, AF = AF et BA = DA. Donc, par SAS, triangle BAF = triangle DAF. Puisque <ADF est un angle droit, <ABF est également un angle droit.

Ensuite, puisque m<EBF + m<ABC + m<ABF = 180 degrés et m<ABF = 90 degrés, <EBF et <ABC sont complémentaires. Ainsi, m<EBF + m<ABC = 90 degrés. Nous savons aussi que
m<BAC + m<ABC + m<ACB = 180 degrés. Puisque m<ACB = 90 degrés, m<BAC + m<ABC = 90 degrés. Par conséquent, m<EBF + m<ABC = m<BAC + m<ABC et m<BAC = m<EBF.

Par le théorème de similarité AA, le triangle EBF est similaire au triangle CAB.

Soit maintenant k le rapport de similarité entre les triangles EBF et CAB.

Ainsi, le triangle EBF a des côtés de longueurs ka, kb et kc. Puisque FB = FD, FD = kc. De plus, puisque les côtés opposés d'un rectangle sont congrus, b = ka + kc et c = a + kb. En résolvant pour k, on a

et nous avons terminé la preuve.

La prochaine preuve du théorème de Pythagore qui sera présentée est celle qui commence par un triangle rectangle. Dans la figure suivante, le triangle ABC est un triangle rectangle. Son angle droit est l'angle C.

Ensuite, dessinez CD perpendiculairement à AB comme indiqué dans la figure suivante.

Comparez les triangles 1 et 3 :

Le triangle 1 (vert) est le triangle rectangle avec lequel nous avons commencé avant de construire CD. Le triangle 3 (rouge) est l'un des deux triangles formés par la construction de CD.


Figure 13
Triangle 1. Triangle 3.

En comparant ces deux triangles, on voit que

Comparez les triangles 1 et 2 :

Le triangle 1 (vert) est le même que ci-dessus. Le triangle 2 (bleu) est l'autre triangle formé en construisant CD. Son angle droit est l'angle D.


Figure 14
Triangle 1. Triangle 2.

En comparant ces deux triangles, on voit que

En additionnant les équations 3 et 4 on obtient :

D'après les figures 11 et 12, avec CD, nous avons que (p + q) = c. Par substitution, on obtient

La prochaine preuve du théorème de Pythagore qui sera présentée est celle dans laquelle un trapèze sera utilisé.

Par la construction qui a été utilisée pour former ce trapèze, les 6 triangles contenus dans ce trapèze sont des triangles rectangles. Ainsi,

Aire du trapèze = La somme des aires des 6 triangles

Et en utilisant les formules respectives pour la surface, nous obtenons :

Nous avons terminé la preuve du théorème de Pythagore en utilisant le trapèze.


La prochaine preuve du théorème de Pythagore que je présenterai en est une qui peut être enseignée et prouvée à l'aide d'énigmes. Ces puzzles peuvent être construits en utilisant la configuration pythagoricienne, puis en la disséquant en différentes formes.

Avant que la preuve ne soit présentée, il est important que la figure suivante soit explorée car elle se rapporte directement à la preuve.

Dans cette configuration pythagoricienne, le carré de l'hypoténuse a été divisé en 4 triangles rectangles et 1 carré, MNPQ, au centre. Puisque MN = AN - AM = a - b. Chaque côté du carré MNPQ a une longueur de a - b. Cela donne ce qui suit :

Aire du carré sur l'hypoténuse = Somme des aires des 4 triangles et de l'aire du carré MNPQ

Comme mentionné ci-dessus, cette preuve du théorème de Pythagore peut être explorée plus avant et prouvée à l'aide de puzzles créés à partir de la configuration de Pythagore. Les élèves peuvent faire ces puzzles et ensuite utiliser les pièces des carrés sur les jambes du triangle rectangle pour couvrir le carré sur l'hypoténuse. Cela peut être une excellente connexion car il s'agit d'une activité "pratique". Les élèves peuvent ensuite utiliser le puzzle pour prouver le théorème de Pythagore par eux-mêmes.


Pour créer ce puzzle, copiez le carré sur BC deux fois, une fois placé sous le carré sur AC et une fois à droite du carré sur AC comme illustré à la figure 17.

Le triangle CDE est congru au triangle ACB par jambe-jambe.

Dans le triangle ACB, m<ACB =90 et les côtés ont des longueurs a, b, c.

Dans le triangle CDE, m<CDE =90 et les côtés ont des longueurs a,b, c.

Le triangle EGH est congru au triangle ACB par jambe-jambe. Le m<EGH =90 et ses côtés ont des longueurs a et c. Puisque EF=b-a=AI, EG=b. Ainsi les diagonales CE et EH sont toutes deux égales à c.


PYTHAGORE, NOMBRE IRRATIONNEL ET THÉORÈME DE PYTHAGORE

Pythagore est un mathématicien grec à la fois ancien et philosophe du VIe siècle. Il est très influent pour la science en particulier en mathématiques. L'une de ses omissions célèbres est le théorème de Pythagore que presque les gens l'ont jamais entendu. Le théorème de Pythagore dit que l'hypoténuse du triangle rectangle est la somme du carré du 2ème côté du triangle rectangle. En raison de ses omissions en mathématiques, il a également appelé « le père du nombre ».

L'un des élèves qui s'appelait Hippase a dit que 𕔆 qui est l'hypoténuse du triangle isocèle dont la longueur chaque pied est de 1 est le nombre irrationnel. Cependant, Hippase a ensuite été assassiné parce que Pythagore ne peut pas contester les preuves soulevées par Hippase.

Hippase est un élève de Pythagore venant de Métaponte. Il est aussi mathématicien en même temps philosophe grec ancien vers le 6ème siècle. Il considérait comme l'inventeur du nombre irrationnel, en particulier prouver que la racine carrée de 2 𕔆 est un nombre irrationnel. Ironiquement, l'invention cause exactement la mort. Pythagore soutient l'existence d'un nombre irrationnel. Pythagore et les autres élèves ont supposé que tous les nombres sont des nombres rationnels et qu'il n'y a pas de nombre irrationnel. Hippase prouve ce théorème en utilisant reductio ad absurdum (prouver par contradiction) prouvant nombre qu'il est un nombre irrationnel. Pythagore ne peut pas contester cette affirmation et supposer qu'Hippase est un disciple enseignant errant, de sorte qu'il a décidé d'engloutir Hippase.

Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas se diviser (résultat car il n'a jamais cessé). Dans ce cas, un nombre irrationnel ne peut pas être exprimé comme a/b, avec a et b comme entier, et b contrairement à null. Donc un nombre irrationnel n'est pas un nombre rationnel. L'exemple de nombre irrationnel tel que π, 𕔆 et e nombre. Nombre Phi (π) qui pendant le temps que nous reconnaissons, en fait imprécis 3,14 mais 3,1415926535897932…. Aussi 𕔆 nombre qui si nous formulons devenir 1,41421356237309504880….Et e nombre qui est 2,71828182….

Le nombre irrationnel peut être prouvé en utilisant reductio ad absurdum ou en anglais appelé preuve par contradiction. C'est un argument logique commencé par une hypothèse, puis à partir de l'hypothèse trouvé un résultat absurde, illogique ou contradictoire, de sorte que la conclusion de l'hypothèse aura une valeur erronée et le refus deviendra correct. Un énoncé mathématique peut parfois être prouvé par reductio ad absurdum, c'est-à-dire en supposant le refus (négation) de l'énoncé qui sera prouvé, puis de l'hypothèse a dégradé une contradiction. Lorsque la contradiction est atteignable logiquement, alors l'hypothèse s'est avérée fautive, de sorte que l'énoncé est correct.

Prouvé par contradiction ou reductio ad absurdum n'est pas un faux argument, mais s'il est vraiment fait, ce sera un argument valable. Si prouver par la contradiction donne lieu à une erreur, l'erreur réside dans le processus de dégradation de la contradiction, et non dans la force de la preuve.

L'exemple classique de la preuve par contradiction à l'époque de la Grèce antique est de prouver que la racine carrée de deux est un nombre irrationnel (ne peut pas être exprimé sous forme de comparaison d'entiers). Cette affirmation est prouvable en supposant au contraire que 2 est un nombre rationnel, de sorte qu'il peut s'exprimer sous forme de comparaison de l'entier a/b dans la fraction la plus simple. Mais si a/b = 𕔆, alors a2 = 2b2. Cela signifie que a2 est un nombre pair. Parce que le carré d'un nombre impair n'est peut-être pas pair, alors a est un nombre pair. Parce que a/b est la fraction la plus simple, b sûrement anormal (parce que la fraction du nombre pair/pair peut toujours être rendue modérée). Mais parce que a est un nombre pair (supposons que 2r = a, moyenne a2 = 4r2) est un nombre de plis de 4, et b2 est un nombre de plis de 2 (pair). Cette moyenne b est également un nombre pair, ce qui est en contradiction avec la conclusion avant tout que b est sûrement anormal. Parce que l'hypothèse précoce que 2 est un nombre rationnel entraîne la contradiction, l'hypothèse est sûrement fausse et le refus (que 2 est irrationnel) est une déclaration correcte.

L'une des omissions de Pythagore très populaire est le théorème de Pythagore. Le théorème appelé comme l'ancien mathématicien et philosophe grec, il est Pythagore. Pythagore n'est pas l'inventeur du théorème mais il est le premier à avoir prouvé la vérité du théorème, il a donc donné une appréciation en donnant un nom au théorème comme son nom.

Ce théorème exprime que la somme des carrés larges aux pieds d'un triangle rectangle équivaut en gros à des carrés dans les hypoténuses. Le triangle rectangle est un triangle ayant un angle droit (90o0) les pieds sont deux côtés que les biseaux forment angulairement, et l'hypoténuse est le troisième côté traitant de l'angle droit. La formule de ce théorème est a2+ b2 = c2, où a et b sont les côtés du triangle rectangle et c est l'hypoténuse.


Application utile : essayez n'importe quelle forme

Nous avons utilisé des triangles dans notre diagramme, la forme 2D la plus simple. Mais le segment de droite peut appartenir à tout forme. Prenons les cercles, par exemple :

Maintenant, que se passe-t-il lorsque nous les additionnons?

Vous l'avez deviné : Cercle de rayon 5 = Cercle de rayon 4 + Cercle de rayon 3.

Assez sauvage, hein ? Nous pouvons multiplier le théorème de Pythagore par notre facteur de surface (pi, dans ce cas) et trouver une relation pour n'importe quelle forme.

Rappelez-vous, le segment de ligne peut être n'importe quelle partie de la forme. Nous aurions pu choisir le rayon, le diamètre ou la circonférence du cercle - il y aurait un facteur de surface différent, mais la relation 3-4-5 serait toujours valable.

Ainsi, que vous additionniez des pizzas ou des masques de Richard Nixon, le théorème de Pythagore vous aide à relier les zones de formes similaires. C'est quelque chose qu'ils ne t'ont pas appris à l'école primaire.


Le théorème de Pythagore rend la construction et le GPS possibles

OK, c'est l'heure d'un quiz pop. Vous avez un triangle rectangle, c'est-à-dire un triangle où deux des côtés se rejoignent pour former un angle de 90 degrés. Vous connaissez la longueur de ces deux côtés. Comment calculer la longueur du côté restant ?

C'est facile, à condition d'avoir étudié la géométrie au lycée et de connaître le théorème de Pythagore, un énoncé mathématique vieux de plusieurs milliers d'années.

Le théorème de Pythagore stipule qu'avec un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés qui forment l'angle droit est égale au carré du troisième côté le plus long, appelé hypoténuse. En conséquence, vous pouvez déterminer la longueur de l'hypoténuse avec l'équation une 2 + b 2 = c 2 , dans lequel une et b représentent les deux côtés de l'angle droit et c est le côté long.

Qui était Pythagore ?

Un truc assez astucieux, hein ? Mais l'homme qui a donné son nom à cette astuce mathématique est presque aussi fascinant. Pythagore, un ancien penseur grec né sur l'île de Samos et ayant vécu de 570 à 490 av. De son vivant, Pythagore n'était pas aussi connu pour résoudre la durée de l'hypoténuse que pour sa croyance en la réincarnation et son adhésion à un mode de vie ascétique qui mettait l'accent sur un régime végétarien strict, l'adhésion aux rituels religieux et beaucoup d'autodiscipline. qu'il a enseigné à ses disciples.

Le biographe de Pythagore, Christoph Riedweg, le décrit comme un personnage grand, beau et charismatique, dont l'aura était renforcée par sa tenue excentrique - une robe blanche, un pantalon et une couronne dorée sur la tête. D'étranges rumeurs circulaient autour de lui – qu'il pouvait faire des miracles, qu'il avait une jambe artificielle dorée cachée sous ses vêtements et qu'il possédait le pouvoir d'être à deux endroits à la fois.

Pythagore a fondé une école près de ce qui est maintenant la ville portuaire de Crotone dans le sud de l'Italie, qui a été nommée le demi-cercle de Pythagore. Les adeptes, qui ont prêté serment à un code du secret, ont appris à contempler les nombres d'une manière similaire au mysticisme juif de la Kaballah. Dans la philosophie de Pythagore, chaque nombre avait une signification divine et leur combinaison révélait une plus grande vérité.

Avec une réputation hyperbolique comme celle-là, il n'est pas étonnant que Pythagore ait été crédité d'avoir conçu l'un des théorèmes les plus célèbres de tous les temps, même s'il n'était pas le premier à proposer le concept. Les mathématiciens chinois et babyloniens l'ont devancé d'un millénaire.

"Ce que nous avons, c'est la preuve qu'ils connaissaient la relation pythagoricienne à travers des exemples spécifiques", écrit G. Donald Allen, professeur de mathématiques et directeur du Center for Technology-Mediated Instruction in Mathematics à la Texas A&M University, dans un e-mail. "Une tablette babylonienne entière a été trouvée qui montre divers triplets de nombres qui remplissent la condition : une 2 + b 2 = c 2 ."

Quelle est l'utilité du théorème de Pythagore aujourd'hui ?

Le théorème de Pythagore n'est pas seulement un exercice mathématique intrigant. Il est utilisé dans un large éventail de domaines, de la construction et de la fabrication à la navigation.

Comme l'explique Allen, l'une des utilisations classiques du théorème de Pythagore consiste à poser les fondations des bâtiments. "Vous voyez, pour faire une fondation rectangulaire pour, disons, un temple, vous devez faire des angles droits. Mais comment pouvez-vous faire cela ? En le regardant ? Cela ne fonctionnerait pas pour une grande structure. Mais, lorsque vous avez la longueur et la largeur, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore pour faire un angle droit précis à n'importe quelle précision.

Au-delà de cela, "Ce théorème et ceux qui s'y rapportent nous ont donné tout notre système de mesure", dit Allen. "Il permet aux pilotes de naviguer dans un ciel venteux et aux navires de définir leur cap. Toutes les mesures GPS sont possibles grâce à ce théorème."

En navigation, le théorème de Pythagore fournit au navigateur d'un navire un moyen de calculer la distance jusqu'à un point de l'océan situé, disons, à 300 milles au nord et 400 milles à l'ouest (480 kilomètres au nord et 640 kilomètres à l'ouest). Il est également utile aux cartographes, qui l'utilisent pour calculer la pente des collines et des montagnes.

"Ce théorème est important dans toute la géométrie, y compris la géométrie solide", poursuit Allen. "Il est également fondamental dans d'autres branches des mathématiques, une grande partie de la physique, de la géologie, de l'ingénierie mécanique et aéronautique. Les menuisiers l'utilisent et les machinistes aussi. Lorsque vous avez des angles et que vous avez besoin de mesures, vous avez besoin de ce théorème.

L'une des expériences formatrices de la vie d'Albert Einstein a été d'écrire sa propre preuve mathématique du théorème de Pythagore à l'âge de 12 ans. La fascination d'Einstein pour la géométrie a finalement joué un rôle dans son développement des théories de la relativité restreinte et générale.


Voir la vidéo: Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer une longueur 1 - Quatrième (Mai 2022).


Commentaires:

  1. Shakashakar

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